支出隨通脹增長、本金有穩定回報、錢要用足 \(n\) 年 —— 在這些假設下，「剛好用到歸零」的本金有一條封閉公式。本文先推導公式，再讓你代入 自己的數字，包括計出最快幾時可以退休。

問題

FIRE（財務自由、提早退休）歸根究底只是一個數字：要有幾多錢才夠？ 流行的 25 倍法則假設本金近乎永續；這裡我們回答一個更貼身的版本：剛好夠支付 往後 \(n\) 年、隨通脹增長的支出 —— 不多，也不少。

模型假設

設 \(S\) 為今年的年支出，\(i\) 為通脹率，\(r\) 為投資回報率，並記 \(R_i = 1+i\)、\(R_y = 1+r\)。假設：

  1. 每年年初先提取全年支出，餘下的錢繼續投資，該年賺取 \(r\)；
  2. 支出隨通脹增長：第 \(t\) 年的支出為 \(S\,R_i^{\,t-1}\)（第 1 年按今天物價）；
  3. 回報率 \(r\) 每年不變；
  4. 錢剛好用 \(n\) 年 —— 第 \(n\) 年年底本金歸零，不留剩餘；
  5. 在職期間，模型中的支出為零：§5 的每年儲蓄額已是扣除所有支出後 剩下的錢，支出已被計算在內；
  6. 儲蓄於每年年底存入，存入金額隨通脹增加（假設收入追得上物價）。

由遞推式到公式

由 \(P\) 開始：提取、增值、重複 \(n\) 次，直至剛好歸零：

$$\Bigl(\bigl((P-S)\,R_y - S R_i\bigr)R_y - S R_i^{2}\Bigr)R_y - \cdots \;=\; 0. \tag{1}$$

展開括號：

$$P\,R_y^{\,n} \;-\; S\bigl(R_y^{\,n} + R_i R_y^{\,n-1} + R_i^{2} R_y^{\,n-2} + \cdots + R_i^{\,n-1} R_y\bigr) \;=\; 0. \tag{2}$$

兩邊除以 \(R_y^{\,n}\)，總和變成公比 \(x = R_i / R_y\) 的等比數列：

$$P \;=\; S\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,k} \;=\; S\cdot\frac{1-x^{\,n}}{1-x}, \qquad x=\frac{1+i}{1+r}. \tag{3}$$

若 \(r = i\)，則 \(x = 1\)，(3) 退化為 \(P = S\,n\)： 回報僅僅追平通脹，等於要預先儲起足足 \(n\) 年的支出。

今天退休需要多少錢？

參數
圖一 —— 本金於第 \(n\) 年年底剛好歸零，而每年提取額隨通脹上升。

表一 —— 按上述參數的逐年提取過程。

年該年支出提取後餘額 利息年末結餘

幾時可以退休？

再看儲蓄一邊。假設你每年可儲 \(D\)（已扣除所有支出 —— 假設 (e)），金額隨 通脹增加、年底存入、以 \(r\) 複利滾存。另一邊，退休所需金額會隨尚餘年數縮短 而下降：尚餘 \(n-t\) 年時，把 \(n-t\) 代入 (3)：

$$\mathrm{Need}_t \;=\; S\cdot\frac{1-x^{\,n-t}}{1-x}. \tag{4}$$

儲蓄首次追過 \(\mathrm{Need}_t\) 的一年，就是你的 FIRE 年 —— 即表二反白的 一行。（\(\mathrm{Need}_t\) 以今天的購買力表示，見備註 3。）

參數 —— 儲蓄
圖二 —— 已存到的錢對比到時需要的錢；圓點為最早可退休的一年。

表二 —— 儲蓄對比退休所需（首個足夠的年份反白；只列至 交叉點後數年）。

年該年儲蓄已存到的錢（年末） 到時需要的錢盈餘

備註

  1. 模型假設回報率恆定；真實市場的回報次序是隨機的，退休初期遇上熊市傷害尤大 （回報次序風險）—— 宜採用保守的 \(r\)。
  2. \(i\)、\(r\) 為名義數字，未扣稅項及費用；自己計算時請用淨值。
  3. 表二的 \(\mathrm{Need}_t\) 以今天物價表示；若想換成第 \(t\) 年的物價， 乘以 \(R_i^{\,t}\) 即可，交叉點會因此推遲數年。
  4. \(n\) 由你決定：70 年適合計劃活到 100 歲的 30 歲人士；試試 60 或 50， 看看 \(P\) 下降多少。
以上皆為模型數字，並非投資建議。